Задача 1

Постройте график функции и её производных \(F=(x-5)^2+6x\). Найдите минимум функции. \(\frac{dF}{dx}=2(x-5)+6\).

library(plotly) 
## Loading required package: ggplot2
## 
## Attaching package: 'plotly'
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter
## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout
F <- function(x){
  (x - 5) ^ 2 + 6 * x
}

dF <- function(x){
  2 * (x - 5) + 6
}

x <- seq(-5, 10, by = 0.1)
y <- F(x)
dy <- dF(x)
data <- data.frame(x, y)
Ddata <- data.frame(x, dy)
fig <- plot_ly(data, x = ~x, y = ~y,type = 'scatter', mode = 'lines') |>
  add_trace(Ddata, x = ~x, y = ~dy,type = 'scatter', mode = 'lines')

fig
op <- optimise(F, c(-5, 10))
x_min = op$minimum
cat(x_min, "\n")
## 2
cat(F(x_min))
## 21

Minimum in x=2. Function minimum \(F_{min}=\) 21

Задача 2

Лампа висит над центром круглого стола радиуса \(r\). Освещение прямо пропорционально косинусу угла падения световых лучей и обратно пропорционально квадрату расстояния до источника света. На какой высоте лампы над столом \(x\) освещение предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшим? Пусть \(r=1 м.\) Постройте график зависимости освещенности от высоты подвеса светильника. Найдите производную этой функции и постройте ее график. . \(F=\frac{cos(a)}{r^2+x^2}=[cos(a)=\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}}]=\frac{x}{(r^2+x^2)(\sqrt{r^2+x^2})}\), \(\frac{dF}{dx}=\frac{r^2-2x^2}{(r^2 + x^2)^{5 / 2}}\).

library(plotly) 

F <- function(x, r = 1){
  cos_value <- x / sqrt(x^2 + r^2)
  cos_value / (x^2 + r^2)
}

dF <- function(x, r = 1){
  (r^2 -2 * x^2) / (r^2 + x^2) ^ (5 / 2)
}

r <- c(1)
x <- seq(0, 5, length.out = 5000)
y <- F(x, r)
dy <- dF(x, r)

data <- data.frame(x, y)
dData <- data.frame(x, dy)

fig <- plot_ly(data, x = ~x, y = ~y,type = 'scatter', mode = 'lines') |> 
  add_trace(Ddata, x = ~x, y = ~dy, type = 'scatter', mode = 'lines')

fig
op <- optimise(F, c(0, 5), maximum = T)
cat(op$maximum, "\n")
## 0.7071161
cat(F(op$maximum))
## 0.3849002

\(\\F_{max}=\) 0.7071161 in \(x =\) 0.3849002

Задача 3

Постройте объемный и контурный график функции \(F=3x^2+xy+2y^2-x-4y\). Найдите частные производные. Определите точки максимума, минимума и перегиба. \(\frac{dF}{dx}=6x+y-1\), \(\frac{dF}{dy}=x+4y-4\).

library(plotly) 

F <- function(x, y){
  3 * x^2 + x * y + 2 * y ^ 2 - x - 4 * y
}

x <- y <- seq(-5, 5, length.out = 100)
z <- outer(x, y, FUN = F)
plot_ly(z = ~z) |> add_surface()
z <- outer(x, y, FUN = F)
plot_ly(x = ~x, y = ~y, z = ~z, type = "contour")
library(plotly) 

solution <- optim(c(0, 0), function(vec) F(vec[1], vec[2]))
min_point <- solution$par
min_point
## [1] -1.156563e-09  1.000000e+00
cat(F(min_point[1], min_point[2]))
## -2

\(MaxSpots=\) -1.1565626^{-9} , 1, \(F_{min}\) = -2.

Задача 4

Найдите частные производные функции \(F=xy\) и точку, где они равны 0. Постройте объемный и контурный график. Какие особые точки вы можете выделить. \(\frac{dF}{dx}=y\\\), \(\frac{dF}{dy}=x\\\).

F <- function(x, y){
  x * y
}

x <- y <- seq(-5, 5, length.out = 100)
z <- outer(x, y, FUN = F)
plot_ly(z = ~z) |> add_surface()
z <- outer(x, y, FUN = F)
plot_ly(x = ~x, y = ~y, z = ~z, type = "contour")
solution <- optim(c(0, 0), function(vec) F(vec[1], vec[2]))
min_point <- solution$par
cat(min_point, "\n")
## 0 0
cat(F(min_point[1], min_point[2]))
## 0

\(x_{optimum}=\) 0, \(y_{optimum}=\) 0, \(F_{optimum}=\) 0